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四个强度理论及其相当应力_图文

§9 - 2 四个强度理论及其相当应力
在常温、静载荷下, 在常温、静载荷下,常用的四个强度理论分两类

第 一类强度理论——以脆断作为破坏的标志 一类强度理论——以脆断作为破坏的标志
包括:最大拉应力理论和最大伸长线应变理论 包括:

第 二类强度理论——以出现屈服现象作为破坏的标志 二类强度理论——以出现屈服现象作为破坏的标志
包括: 包括:最大剪应力理论和形状改变比能理论

第 一类强度理论
最大拉应力理论(第一强度理论) 一、 最大拉应力理论(第一强度理论) 根据:当作用在构件上的外力过大时, 根据:当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的材 料就会沿最大拉应力所在截面发生脆性断裂。 料就会沿最大拉应力所在截面发生脆性断裂。 基本假说:最大拉应力σ1是引起材料脆断破坏的因素。 基本假说:最大拉应力σ 是引起材料脆断破坏的因素。 脆断破坏的条件: 材料极限应力值) 脆断破坏的条件: σ1 = σu (材料极限应力值) 强度条件为: 强度条件为: σ r1 =σ 1 ≤ [σ] σ σ] (9-2-1)

注意:无拉应力时,该理论无法应用。 注意:无拉应力时,该理论无法应用。

最大伸长线应变理论(第二强度理论) 二、 最大伸长线应变理论(第二强度理论) 根据:当作用在构件上的外力过大时, 根据:当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的材料 就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生 脆断破坏。 脆断破坏。 基本假说: 是引起材料脆断破坏的因素。 基本假说:最大伸长线应变 ε1 是引起材料脆断破坏的因素。

脆断破坏的条件: 脆断破坏的条件:

ε1 = εu

(材料极限应变值) 材料极限应变值)

若材料符合胡克定律,则最大伸长线应变为 若材料符合胡克定律 则最大伸长线应变为

1 ε1 = [σ1 ν (σ 2 + σ 3)] E


[σ1 ν (σ 2 +σ3)] =σ u

强度条件为: 强度条件为 σ r 2 = [σ 1 ν (σ 2 + σ 3)] ≤ [σ ]

(9-2-2)

第 二 类强度理论
第三强度理论) 三、 最大剪应力理论 (第三强度理论 第三强度理论 根据:当作用在构件上的外力过大时, 根据:当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的材料就会 沿最大剪应力所在截面滑移而发生屈服失效。 沿最大剪应力所在截面滑移而发生屈服失效。 基本假说: 是引起材料屈服的因素。 基本假说: 最大剪应力 τmax 是引起材料屈服的因素。

屈服条件: 屈服条件:

τ max = τ u =

σs 2

在复杂应力状态下一点处的最大剪应力为
τ max = 1 2 (σ1 σ 3)



σ1 σ3 = σs
(9-2-3)

强度条件为: 强度条件为: σ r3 =σ 1 - σ 3 ≤ [σ] σ σ]

形状改变比能理论(第四强度理论) 四、 形状改变比能理论(第四强度理论)

基本假说: 是引起材料屈服的因素。 基本假说:形状改变比能 uf 是引起材料屈服的因素。 屈服条件: 屈服条件:

uf = uf u

uf =

(1 + ν )
6E

[(

)2 + (σ2 σ3 )2 + (σ3 σ1 )2 ] σ1 σ2
σ1 = σs , σ2 = σ3 = 0

单轴受拉时: 单轴受拉时

代入上式, 代入上式,可得材料的极限值

ufu =
强度条件为:

(1+ν )

2σ s 6E
2

σ

r4

=

2 2 2 1 + σ σ + σ σ σ σ 2 2 3 3 1 2 1

≤ [σ ]

(9-2-4)

五、强度条件的统一形式

σ r ≤ [σ ]
其中: 称为相当应力 其中 σr 称为相当应力

σ 2 σ 1 σ 3 σ 2

σ 3 σ 1

等效为

r σ

r σ

强度理论的分类及名称
第一类强度理论 (脆断破坏的 理论) 理论)
第1强度理论 强度理论 —最大拉应 最大拉应 力理论 第2强度理论 强度理论 —最大伸长 最大伸长 线应变理论 第3强度理论 强度理论

相当应力表达式

σr1 = σ1
σr 2 = [σ1 ν (σ2 + σ3 )]

第二类强度理论 (屈服失效的 理论) 理论)

—最大剪应 最大剪应 力理论 第4强度理论 强度理论 —形状改变 形状改变 比能理论

σr 3 = σ1 σ3
σ r4
2 2 2 = 1 (σ1 σ 2 ) + (σ 2 σ 3 ) + (σ 3 σ1 ) 2

[

]

1 2

}

注意:按某种强度理论进行强度校核时, 注意:按某种强度理论进行强度校核时, 要保证满足如下两个条件: 要保证满足如下两个条件

1. 所用强度理论与在这种应力状态下发生的 破坏形式相对应; 破坏形式相对应 2. 用以确定许用应力 [σ] 的,也必须是相应于该 σ] 也必须是相应于该 破坏形式的极限应力。 破坏形式的极限应力。

例题 9-1 对于图示各单元体,试分别按第三强度理论及第 对于图示各单元体, 强度理论求相当应力。 四 强度理论求相当应力。 所示的单元体, 解: (1)对于图 (a) 所示的单元体, ) 由图知 σ1= 0,σ2= σ3= –100MPa, ,

100MPa 100MPa (a)

σr3 = σ1 σ3 = 0 (100) =100 MP a
σ r4 =
1 2
=
σ 1

(

σ 2 2 + σ 2 σ 3 2 + σ 3 σ1 2

)

(

)

(

)

1 (0+100)2 + (100 +100)2 +(100 0)2 2

=100MPa

所示的单元体, (2)对于图 b 所示的单元体, )

110MPa 140MPa (b)

由图知 σ1=140MPa,σ2=110MPa , σ3=0

σ r3 = σ1 σ 3 = 140MPa
σr4 =
=

1 σ1 σ2 2 + σ2 σ3 2 + σ3 σ1 2 2
1 (140 110)2 +(110 0)2 +(0140)2 2

(

) (

) (

)

=128MPa

所示的单元体, (3)对于图 c 所示的单元体, ) 由图知: 由图知 σ1= 80MPa , σ2= –70MPa , σ3= –140MPa

70MPa 140MPa 80MPa (c)

σr3 = σ1 σ3 = 80 (140) = 220 MP a
σr4 =
=

1 σ1 σ2 2 + σ2 σ3 2 + σ3 σ1 2 2
1 (80 +70)2 +(70 +140)2 +(140 80)2 2

(

) (

) (

)

=195MPa

(4)对图 所示的单元体 计算 σr3 ,σr4 )对图d 所示的单元体,计算 σ
解:求主应力 由图知 : σx=30MPa, σy=70MPa, 由图知 , , τxy= - 40MPa 可求得

70MPa 40MPa 30MPa 50MPa
+ 402

σ1 30 + 70 = ± σ3 2

30 70 2

2

(d)

94.72 = 50 ± 20 5 = MPa 5.28

σ2 = 50 MPa

σr3 = σ1 σ3 = 94.72 5.28 = 89.44 MP a
σr4 =
=

1 σ1σ2 2 + σ2 σ3 2 + σ3 σ1 2 2

(

) (

) (

)

1 (94.72 50)2 +(50 5.28)2 +(5.2894.72)2 2

= 77.5MPa

例题 9-2

两种应力状态分别如图所示,试按第四强度理论 两种应力状态分别如图所示,试按第四强度理论, 比较两者的危险程度。 比较两者的危险程度。

解:一、定性分析 由于各向同性材料,正应力仅产生线应变, 由于各向同性材料,正应力仅产生线应变,剪应力 应变。 仅产生剪 应变。而两种情况下的正应力和剪应力分 别相 因此, 等,因此, 其形状改变比能也相等, 其形状改变比能也相等,故两种情况下的危险程度相 等。 σ σ
τ τ

(a)

(b)

二、定量计算
σ σ1 = + 状态(a): 状态 2 σ3 = σ
2 2 σ 2 +τ 2

σ 2
2

+τ 2

σ2 = 0
σr4 =
1 σ1σ2 2 + σ2 σ3 2 + σ3 σ1 2 2

(

) (

) (

)

= σ 2 +3 2 τ

状态(b): 设 σ>τ,则 状态 σ>τ,

σ1 =σ
σr4 =

σ2 =τ

σ3 = τ

1 σ1σ2 2 + σ2 σ3 2 + σ3 σ1 2 2

(

) (

) (

)

= σ 2 +3 2 τ
两种情况下的危险程度相等。 两种情况下的危险程度相等。 相等


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