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第三章 傅里叶变换3_图文

§5.7 调制与解调
一、为什么要调制? 为了有效传输信号 ①天线尺寸可实现。

P285

天线尺寸 ?

1 10

? ( 信号波长)

? ??

v f

?

c

光速一定

f ?

变频信号 f ?? ? ?

②不同信号在同一信道里传输不产生重叠。 (用多路复用技术解决:在一个信道中传输多路信号。)
调制是实现多路复用的关键技术。

二、调制原理
调制——将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围的过程。
相乘

g (t )
cos ? 0 t

g ( t ) cos ? 0 t

g ( t ) ——待传输的信号,称为调制信号
cos ? 0 t ——运载 g ( t ) 的高频振荡信号称为载波。

f ( t ) ? g ( t ) cos ? 0 t

——为经调制后的高频信号称为已调波。

?0

为载波角频率

二、调制原理
? 调制作用的实质:是把各种信号的频谱搬移,使他 们互不重叠地占据不同的频率范围,也即信号分别 依托于不同频率的载波上,接收机就可以分离出所 需频率的信号,不致互相干扰。此问题的解决为在 一个信道中传输多对通话提供了依据,这就是利用 调制原理实现“多路复用”。 ? 在简单的通信系统中,每个电台只允许有一对通话 者使用,而“多路复用”技术可以用同一部电台将 各路信号的频谱分别搬移到不同的频率区段,从而 完成在一个信道内传送多路信号的“多路通信”。

频谱结构及过程分析
F ?g (t ) ? ? G (? )

G ?? ?
1

F (cos ? 0 t ) ? ? ?? (? ? ? 0 ) ? ? (? ? ? 0 ) ?
F ? f (t ) ? ? F [( g (t ) cos ? 0 t )] ? ?G (? ? ? 0 ) ? G (? ? ? 0 ) ?
2 1

? ?m
F ?cos ? 0 t ?

0

? m?
(? )

1

(? )

振幅随调制信号而变,这种调制称为调幅

调制

调幅 调频 调相 脉冲调制

? ?0
F (? )
1 2

0

?0 ?

?

? (? 0 ? ? m )

? ? 0 ? (? 0 ? ? m )

0

?0 ? ?m ?0 ?0 ? ?m

调幅信号时域、频域波形
f ?t ?

f C ( t ) ? f ( t ) ? cos ? C t
f ?t ? ? cos ? C t

cos? C t

O

t

O

t

O

t

F (? )

F ?cos ? C t ?

FC (? )

A
? ?
A 2

(? )

(? )
O

A 2
O ?C ? ? m ?C ?C ? ? m

? ? mO ? m ?

? ?C

?C ?

?

? ?C

幅度调制的解调
1. 解调:将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。

g ( t ) cos ? 0 t

相乘

g 0 (t )

? ?c

?c

低通

g (t )

cos ? 0 t

本地载波

2? 0 ? ? m ? ? c ? ? m

特点:要求本地载波产生一个与发送端载波严格同步(同频 同相)的余弦信号,接收设备复杂。

同步解调(乘积解调)

g ( t ) cos ? 0 t

相乘

g 0 (t )

? ?c

?c

低通

g (t )

cos ? 0 t

本地载波

2? 0 ? ? m ? ? c ? ? m

g 0 ( t ) ? [ g ( t ) cos ? 0 t ] cos ? 0 t ? ? 1 2 1 2 g ( t )(1 ? cos 2? 0 t ) g (t ) ? 1 2 g ( t ) cos 2? 0 t

G 0 (? ) ?

1 2

G (? ) ?

1 4

[ G (? ? 2? 0 ) ? G (? ? 2? 0 )]

1

2

??0
?? (? ? ? 0 )

?0
?? (? ? ? 0 )

??0
1 4

?0
1 2
1 4

? 2? 0

??0

2

?0

2? 0

G (? )
??m

?m

接收端不需本地载波的情况
? 优点:简化接受机的结构:只需用包络检波即可(二 极管、电阻、电容组成) ? 方法:发送端的发射信号中加入一定强度的载波信 号 A cos ? 0t ,即合成发射信号为 [ A ? g (t )] cos ? 0t 如果A足够大,对于全部的 t,A+g(t) > 0, 已调制信 号的包络就是A+g(t)。可以恢复出g(t). ? 应用:技术简单,价格低,常用于民用通讯设备

g (t )
cos ? 0 t g ( t ) cos ? 0 t
[ A ? g ( t )] cos ? 0 t

A+g(t)

A

5.11 频分复用

P302

? 复用:在一个信道上传输多路信号。 ? 频分复用:就是以频段分割的方法在一个信道内实现 多路通信的传输体制(Frequency Division Multiplex, FDM) 1. 复用——发信端 调制,将各信号搬移到不同的频率范围。 2.复用——收信端 收信端:带通滤波器,分开各路信号,解调。

调制系统

f a ?t ? f b ?t ? f c ?t ?

cos ? a t

y a ?t ?

cos ? b t
cos ? c t
Fb (?)

yb ?t ?

g ?t ?

y c ?t ?
Fc (? )

Fa (?)

0

?

0
G (? )

?

0

?
?

? ?c

? ?b

? ?a

0

?a

?b

?c

解调系统
带通
g ?t ?

cos ? a t cos ? b t

g a ?t ?

低通

f a ?t ? f b ?t ? f c ?t ?

带通

低通

带通

cos ? c t
G (? )

低通

? ?c

? ?b

? ?a

0

?a

?b

?c

?

例 如图所示系统中,已知输入信号x(t)的频谱X(j?), 试分析系统中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出 频谱图,求出y(t)与x(t)的关系。
H1(j?) x(t) H2(j?) C 1 1 y(t)

?
A

B

?
-100 -80 80 100

?

D

?
?15 15

cos100 t

cos100 t

X(j?) 2

解:X ( j ? ) ? F [cos( 100 t )] A
? π[? (? ? 100 ) ? ? (? ? 100 )]
(?) XA(j?) (?)

-10

?
10

?100

0

100

?

例 如图所示系统中,已知输入信号x(t)的频谱X(j?), 试分析系统中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出 频谱图,求出y(t)与x(t)的关系。
H1(j?) x(t) H2(j?) C 1 1 y(t)

?
A

B

?
-100 -80 80 100

?

D

?
?15 15

cos100 t

cos100 t

X(j?) 2

解:X B ( j ? ) ?

1

2π 1 ? [ X (? ? 100 ) ? X (? ? 100 )] 2
XB(j?) 1

X ( j? ) * X A ( j? )

-10

?
10

?110 ?100 ?90

0

90 100 110

?

例 如图所示系统中,已知输入信号x(t)的频谱X(j?), 试分析系统中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出 频谱图,求出y(t)与x(t)的关系。
H1(j?) x(t) H2(j?) C 1 1 y(t)

?
A

B

?
-100 -80 80 100

?

D

?
?15 15

cos100 t

cos100 t

X(j?) 2

解:

X C ( j? ) ? X B ( j? ) H 1 ( j? )
-10 10

?

XC(j?) 1 ?100 ?90

0

90 100

?

例 如图所示系统中,已知输入信号x(t)的频谱X(j?), 试分析系统中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出 频谱图,求出y(t)与x(t)的关系。
H1(j?) x(t) H2(j?) C 1 1 y(t)

?
A

B

?
-100 -80 80 100

?

D

?
?15 15

cos100 t

cos100 t

X(j?) 2

解:

X D ( j? ) ?

1 2

[ X C (? ? 100 ) ? X C (? ? 100 )]
-10

?
10

XD(j?) 1/2 ?200 ?190 ?10 0 10 190 200

?

例 如图所示系统中,已知输入信号x(t)的频谱X(j?), 试分析系统中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出 频谱图,求出y(t)与x(t)的关系。
H1(j?) x(t) H2(j?) C 1 1 y(t)

?
A

B

?
-100 -80 80 100

?

D

?
?15 15

cos100 t

cos100 t

X(j?) 2

解:

Y ( j? ) ? X D ( j? ) H 2 ( j? )
Y(j?) 1/2

Y ( j? ) ?
?

1 4 1 4

-10

?
10

X ( j? )

?10 0

y (t ) ?

x (t )

10

§3.9 周期信号的傅里叶变换
周期信号 傅里叶级数

T1 ? ?
? 本节主要讨论 非周期信号 ? 正弦信号的傅里叶变换 ? 一般周期信号的傅里叶变换 ? 如何由 F ? ? ? 求 F ? n?1 ? ? 单位冲激序列的傅氏变换 ? 周期矩形脉冲序列的傅氏变换
? 重点:一般周期信号的傅里叶变换



T1 ? ?
傅里叶变换

一、 正弦信号的傅里叶变换
cos ? 0 t ? ? ?? (? ? ? 0 ) ? ? (? ? ? 0 ) ?
sin ? 0 t ? ? j ?? ? ? ? ? 0 ? ? j ?? ? ? ? ? 0 ? ? ?? ?
F ?? ?
?
?

?

F ?? ? ?

?? ?
? ?0
O

?? ?
?0

?

?
? ?0 o ?? 2

cos ? 0 t 频谱图 :

2

?? ?
? ?0 o

?? ?
?0

?0
?

?

sin ? 0 t 频谱图 :

对比
函数
cos ? 0 t

奇偶性

F (? )

频谱组成 相位谱

偶函数
奇函数

实函数
虚函数

一对冲激
一对冲激
?

0
?
2

sin ? 0 t

注意: 周期信号的频谱仍为离

散谱 , 在 ? 0 处频谱密度为

?

二、一般周期信号的傅里叶变换
1.周期信号傅立叶变换表达式 2? 设周期信号的周期为 T1 ?
?1 由傅里叶级数的指数形式: T ?t ? ? f
?

其傅氏变换(由定义) FT ?? ? ? F ? f T ?t ??
? ? ? F ? ? F ? n ? 1 ?e ? ??
? jn ? 1t

n ? ??

?

F ? n ? 1 ?e

jn ? 1t

? ? ? ?

?
??

?

F ? n ? 1 ?F e

?

jn ? 1t

?

?

? F ?n ? ? ? 2?? ??
1 ??

? n?1 ? ? n?1 ?

? 2?

? F ?n ? ? ? ? ??
1 ??

?

2.结论
FT ?? ? ? 2? ? F ?n?1 ? ? ? ?? ? n?1 ?
?

?1?

f T ?t ?的频谱由冲激序列组成

??

;

位置 : ? ? n ?1

?谐波频率 ?
离散谱

强度 : 2? F ?n ?1 ? 与 F ( n ?1 ) 成正比 ,

(2)周期信号的频谱不是有限值,而是冲击函数。它表明在无 穷小的频带范围内(及谐频点)取得了无限大的频谱值。

三、由F0 (? ) 求F ?n ? 1 ?
即单个脉冲的 F0 ?? ?与周期信号 f T ?t ?的谱系数 F ?n ?1 ?的关系
f 0 ?t ?

设 f 0 ?t ? ? F0 ?? ?

f T ?t ?

F0 ? ? ? ?

T

?

? ? j n? t f T ? t ? ? ? F ? n?1 ? e 1 ? n ? ?? ? ?? T 1 2 ? j n? t ? F ? n? ? ? fT ? t ? e 1 d t T 1 ? T1 ?? 2 ?

2 T ? 2

f0 ?t ? e

? j? t

dt

(1)

?

o
2

??

2

t

?T

o

T

t

比较式(1),(2)
(2)

?
f 0 ?t ?

? ?

n ?1

f T ?t ?

? F ?n?1 ? ?

1 T1

F0 ?? ?

? ? n?1

? T T ? 在 ? ? , ?内 f 0 ?t ?与 f T ?t ?相同 ? 2 2?

可由 F0 ?? ?求周期函数

f T ?t ? 的谱系数 F ?n ?1 ?

例3-10

四、周期单位冲激序列的傅里叶变换
? T ?t ? ?
Fn ? 1 T1
n ? ?? T1 / 2

? ? ?t ? nT ?
1

?

?

?

?? ?

? T ?t ?

?

? T1 / 2

? ( t ) e ? jn? t dt ?
1

1 T1
F ?n ? 1 ? ? 1 T1

? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? ?

? 2T1? T1 o
??

或: ? ?t ? ? 1? ? ?t ?的傅氏级数谱系数 ? T
? ? T ?t ? ?
n ? ??

T1 2T1 F ?n? 1 ?

t

?

?

F ?n ? 1 ?e
1 T1

jn ? 1t

?

1 T1

?e
??

jn ? 1t
?

?

1 T1

?

F ? ? ? ? F ?? T ? t ? ? ? ? ?

? ?1

n ? ??

? ? ?? ? n ? 1 ?
n ? ??

?

n ? ??

?

?

F ?e ?

j n?1 t

? ? ? T1

1

n ? ??

? 2?? ?? ? n ? ?
1

? 2? 1 ? ? 1 o

?

?

F ?? ? ?? ?

? 1 2? 1

?

F 或: ( j? ) ? 2?

?

?

Fn ? ? (? ? n? 1 ) ? ? 1

n ? ??

? ? (? ? n?

?

? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ?
1

)

? 2? 1 ? ? 1

o

? 1 2? 1

?

? T ? t ? 的频谱密度函数仍是冲激序列,强度和间隔都是 ? 1

? (t )
(1)

F0 (? )
1

0

t
1

0

?

? T (t )
FS
? ?1

Fn
T1

t
T1
FT
F (? )

0

? 1 2? ? 1

?1
? 2? 1 ? ? 1 0

? 1 2? 1

?

五、周期矩形脉冲序列的傅氏变换
f ?t ?

例3-11

E
? ?

? T1

?? o ? 2 2

T1

t

方法: F0 (? ) ? F ( n ? 1 ) ? F (? )
? ?? ? F0 (? ) ? E ? Sa ? ? ? 2 ?
? ??

? F ?n ? 1 ? ?

1 T1
?

F0 ?? ?

? ? n ?1

F (? ) ? 2? ? F ?n ? 1 ? ? ? ?? ? n ? 1 ? ? 2? ?

E?

? n?1? ? ? E??1 ? Sa ? ?? ?? ? n?1 ? ? 2 ? ??
?

??

? n ? 1? ? Sa ? ?? ?? ? n ? 1 ? T1 ? 2 ?

五、周期矩形脉冲的FS和FT
f 0 (t )

E
?

FT
?

E?
? 2?

F0 (? )
2?

?
2

t

?

0

?
E? T1

?

周 期 重 复

0

2

Fn

f (t )
E

FS
t
FT

F (? )

? ?

E ?? 1

? T1

T1

? ?? ? F0 (? ) ? E ? Sa ? ? ? 2 ?

由单脉冲联想FS的Fn

Fn ?

1 T1

F0 (? ) ? ? n ? 1 ?

E? T1

Sa (

n ? 1? 2

)
FS

? n ?? 1 ? jn ?1t f (t ) ? ? Sa ? 2 ?.e T1 n ? ?? ? ?
?

E?

FT

? n ? 1? ? F (? ) ? E ?? 1 ? Sa ? ? ? (? ? n ? 1 ) ? 2 ?1 n ? ??
?

小结——单脉冲和周期信号的FT的比较
1. 单脉冲的频谱 F0 (? ) 是连续谱,它的大小是有 限值; 2. 周期信号的谱 F (? ) 是离散谱,含谱密度概念, 它的大小用冲激表示;
3. F0 (? ) 是 F (? ) 的包络的 1 ? 。 1

§3.10 抽样信号的傅里叶变换
抽样:信号从连续到离散的桥梁,也是对信号进行数字处理的第一个环节。
所谓“取样”就是利用取样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“取样”一 系列的离散样值,这种离散信号通常称为“取样信号”。

§3.10 抽样信号的傅里叶变换
f (t )

f s (t )

A/ D
量化编码
p(t ) 周期信号

f k (t )

数字 滤波器

g k (t )

D/ A

g (t )

抽样原理图

需解决的问题

? f s ( t ) ? Fs ?? ?与 F ?? ?的关系 :? ?由 f s ?t ?能否恢复 f ?t ?

时域抽样
连续信号

f ?t ?

?
p?t ?

抽样信号

f S ?t ?

p (? ) ? 2?

n ? ??

? P ? (? ? n ?
n

?

s

)

抽样脉冲

Fs (? ) ?

1 2?
?

F (? ) * p (? )

f s ? t ? ? f ? t ? ? p ? t ?为抽样信号。

F s (? ) ?

n ? ??

? P F (? ? n ?
n

s

)

时域抽样

频域周期重复

一、矩形脉冲抽样
f(t)

连续信号

f ?t ?

?
p?t ?

o

抽样信号

t

p(t)

f S ?t ?
o TS fS(t) t

抽样脉冲

自然取样

o

TS

t

矩形脉冲抽样信号的频谱
Pn ? 1 Ts
1 Ts E? Ts
? n

?
?

Ts ?
?
2

2 Ts 2

p (t ) e
? jn? s t

? jn? s t

dt

p (t )

E

?

?

?
2

Ee

dt

?
Ts

?
t

?

Sa (

n ? s? 2

)

Fs ( j? ) ?

Fs ( j ? ) ?

E? Ts

n ? ??

?

?

Sa (

n ? s? 2

n ???

? P ? F[ j(? ? n? )]
s

)F [ j (? ? n ? s )]

? 频谱结构
o

f(t)

1

F ?? ?

t p(t) E

? ? mo ? m
P?? ? E?? S 2?

?

?

o TS fS(t)

t 相 乘 卷 积

? ? So ? S

?

?

F S ?? ? E? TS
o? m ? S

?

的影响
??S ?

o T S
2? Ts , T s 不变 ,

t
? S 不变

? ?S

?

? ?, 第一过零点离原点越远

理想抽样 ? ? 0 , 矩形脉冲 ? ? ?. ? t

关于矩形脉冲抽样
Pn ? 1 Ts

?

Ts 2 Ts 2

?

p (t ) e

? jn ? s t

dt ?

E? Ts

? n ? s? ? Sa ? ? ? 2 ?

p (? ) ? 2?

n ? ??

? P ? (? ? n ?
n

?

s

)

Fs (? ) ?

1 2?

F (? ) * p (? )

? n ? s? Fs (? ) ? ? Sa ? 2 T s n ? ?? ? E?
?

? ?F (? ? n ? s ) ?

二、理想抽样(或冲激抽样)
连续信号

(10.27)

f ?t ?

?
? T ?t ?

抽样信号

f S ?t ?

抽样脉冲

p(t) (1)

?
Ts

?
t

p (t ) ? ? T (t ) ?

n ? ??

? ? (t ? nT

?

s

)

时域理想抽样的傅立叶变换
f (t )

F (? )
FT
1 2?
s

FT
相乘

Fs (? ) ?
?

1 Ts

n ? ??

? F (? ? n ?

?

)

相卷积

? T (t ) ?

n ? ??

? ? (t ? nT

s

)
FT

p (? ) ? ? s

n ? ??

? ? (? ? n ?

?

s

)

冲激抽样信号的频谱
f(t) 1

F ?? ?

o p(t)
(1)

t

? ? mo ? m
P?? ?

?

?

E ? t 相 乘
?

?? S ?
? ?

o

TS fS(t)

? ?S
卷 积
?

o

?S
F S ?? ? 1 TS ?

?

?

o T S

t

? ?S

o? m ? S

?

讨论
?1?
?2 ?
n ? 0时 , Fs ?? ? ? 1 Ts F ?? ?, 包含原信号的全部信息
, 有新的频率成份

, 幅度差 T s 倍 .

Fs ?? ?以 ? s 为周期的连续谱

, 即 F ?? ?的周期性延拓 .

?3 ?若接一个理想低通滤波
滤除高频成份,即可重

器, 其增益为 T s 截止频率 ? m ? ? c ? ? s ? ? m 现原信号。

?
? ?S

F S ?? ? 1 TS ?

o? m ? S

?

三、频域抽样
F (? )
IFT
1

f (t )

0

? ? (? )
(1)

?
IFT
? T1

0
? T (t )

t
T1

1

?1

?1

? ?1

0

?1

F1 (? )
? ?1

相 乘
IFT

卷 积

0
1

t
f1 (t )

?1

0

?1

?

0

t

F (? )

F1 (? ) ? F (? )? ? (? )
IFT
?

? ? (? ) ?

n ? ??

? ? (? ? n ?

?

1

)

IFT

f1 (t ) ?

1

?1

n ? ??

?
1

f ( t ? nT 1 )

IFT

f1 (t ) ? f (t ) *

f (t )

?1

? T (t )

p (t ) ?

1

?1

n ? ??

? ? (t ? nT )
1

?

例3-12 周期矩形被冲激抽样的频谱
先重复 后抽样

f1 (t )
??

E
2

? T1

0

?

2

E

f s (t )

T1

t

? T1

??

2

0

?

2

T1

t

Fs (? )

2? E ? T1T s

t
? 2? Ts

?

2?

2?

2? Ts

?

?

f1 (t )
??

E
2

后重复

0

?

2

t
1 Ts

E

? T1
时域重复 频域抽样 先抽样

??

2

0

?

2

T1
?1

t
时域抽样 频域重复

?1
Ts

E?

t
? 2? Ts

?

2?

2?

2? Ts

?

?

§3.11 抽样定理
? 主要内容 ? 抽样定理 ? 由抽样信号恢复原信号(§5.9) ? 时分复用(§5.11) ? 重点: 抽样定理 ? 难点:由抽样信号恢复原信号
需解决的问题

? f s ( t ) ? Fs ?? ?与 F ?? ?的关系 :? ?由 f s ?t ?能否恢复 f ?t ?

f(t)

1

F ?? ?

o p(t) E

t

? ? mo ? m
P?? ? E?? S 2?

?

?

o TS fS(t)

t 相 乘 卷 积

? ? So ? S

?

?

F S ?? ? E? TS
o? m ? S

o T S

t

? ?S

?

冲激抽样信号的频谱
f(t) 1

F ?? ?

o p(t)
(1)

t

? ? mo ? m
P?? ?

?

?

E ? t 相 乘
?

?? S ?
? ?

o

TS fS(t)

? ?S
卷 积
?

o

?S
F S ?? ? 1 TS ?

?

?

o T S

t

? ?S

o? m ? S

?

一、抽样定理
用取样脉冲对连续信号进行取样,取样周期取多大合 适呢? 并且如何从取样信号中恢复原连续信号?
抽样目的? 1、可靠性 2、有效性

一、 抽样定理
理想抽样信号的频谱分析
? 抽样信号xs(t)频谱与抽样间隔Ts关系:
X (? )
1
? ?m

X s (? ) ?
?

1 Ts

n ? ??

?

??

X (? ? n? s )

? s ? 2 . 5? m
1 Ts

0 ?m

X s (? )

X (? ? ?s ) ...
??s ??m

X (? )
?s /2
0

X (? ? ?s ) ..

.
?s

?m

?

一、 抽样定理
理想抽样信号的频谱分析
? 抽样信号xs(t)频谱与抽样间隔Ts关系:
X (? )
1
? ?m

X s (? ) ?
?

1 Ts

n ? ??

?

??

X (? ? n? s )

0 ?m

? s ? 2? m
1 T

X s (? )

X (? ? ?s ) ...
??s ??m

X (? )
0

X (? ? ?s )

...
?m ?s

?

一、 抽样定理
理想抽样信号的频谱分析
? 抽样信号xs(t)频谱与抽样间隔Ts关系:
X (? )
1
? ?m

X s (? ) ?
?

1 T

s n ? ??

?

??

X ( ? ? n? s )

? s ? 1 . 5? m

0 ?m

X s (? )
1 T

混叠 (aliasing)

...

X (? ? ?s )
??s ??m

X (? )
0

X (? ? ?s ) ...
??s

???s

?m ?s

?

1、时域取样定理
若带限信号f(t)的最高角频率为?m,则信号f(t) 可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔T 需不大于1/2fm,或最低抽样频率fs不小于2fm。
若从抽样信号fs(t)中恢复原信号f(t),需满足两个条件:
(1) f(t)是带限信号,即其频谱函数在|?|>?m各处为零; (2) 抽样间隔T需满足 T ? π / ? m ? 1 /( 2 f m ) ,

或抽样频率fs需满足 fs ? 2fm (或ωs ? 2ω m) 。

fs = 2fm 为最小取样频率,称为Nyquist Rate.

不满足抽样定理时产生频率混叠现象
f (t )
0
1

Fs (? )

Ts

Ts

t

? s ? 2? m

??s ?? m
1 Ts

0

? m ?s ?

F1 (? )
?s

? s ? 2? m

f (t )
0

??s
1

0
Ts

?

F1 (? )
?s ?

Ts

t
? s ? 2? m
??s
0

例1 已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz), 试计算对各信号x(2t), x(t)?x(2t), x(t)?x(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。 解: 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得: 对信号x(2t)抽样时,最小抽样频率为 4fm(Hz); 对x(t)?x(2t)抽样时,最小抽样频率为 2fm(Hz); 对x(t)?x(2t)抽样时,最小抽样频率为 6fm(Hz)。

思考题
(1) 根据时域抽样定理,对连续时间信号进行抽 样时,只需抽样速率 fs ? 2fm。在工程应用中,

抽样速率常设为 fs ?(3~5)fm,为什么?
(2) 若连续时间信号x(t) 的最高频率 fm 未知, 如何确定抽样间隔T?

时域抽样小结
1.对信号抽样 (1)抽样前滤波→有限频带 (2)抽样率足够高(抽样速率 fs ? 2fm) (3)抽样后接理想低通滤波器,滤除高频分 量

二、 由抽样信号恢复原信号(§5.9 p294)
理想低通滤波器
?T s H ?? ? ? ? ?0
? S ? 2? m 1
F S ?? ?
?
? ?S

TS

? ? ?c ? ? ?c

?

o? m

?S

?

F ?? ? ? Fs ?? ? ? H ?? ? ? f ?t ? ? f s ?t ? ? h ?t ?

?S ? ?m H ?? ?
TS

滤除高频成分,即可恢复原信号
频域解释

? ?C o ?C

F ?? ?

?

1

? ? mo ? m

? 以理想抽样为例
时域: f s (t ) ? f (t )? T (t ) ?

时域解释
n ? ??

? f (nT )? (t ? nT )
s s

?

理想低通滤波器
?T s 频域: H ?? ? ? ? ?0

? ? ?c ? ? ?c
?

? 时域: h ?t ? ? T s

?c ?

Sa ?? c t ?

f ?t ? ? f s ( t ) ? h ?t ? ?

n ? ??

?

f ( nT s )? ( t ? nT s ) ? T s

?c ?

Sa ?? c t ?

? Ts

?c ?

n ? ??

?

?

f ( nT s ) Sa ?? c ?t ? nT s ?

?

即连续信号f(t)可以展开成Sa函数的无穷级数, 级数的系数等于抽样值f(nTs)。 也可以说在抽样信号fs(t)的每个抽样值上画一个峰值 为f(nTs) 的Sa函数波形,由此合成的信号就是f(t) 。

f s (t )

Fs (? )

0

h (t )
? Ts

Ts
Ts

t

??s

??m
1

?m ?s
H (? )

?

?c ?

Ts

卷 积

0

f (t )

t
包络

??c 0

?c
F (? )

?
相 乘

0

t

??m 0

?m

?

时域与频域的信号恢复图

从系统响应的角度
f ?t ? ? T s

?c ?

n ? ??

?

?

f ( nT s ) Sa ?? c ?t ? nT s ?

?

由线性系统叠加特性,当fs(t)通过理想低通滤波器时, 抽样序列的每个冲激信号产生一个响应,将这些响应叠 加就可得出f(t) ,从而达到恢复原连续信号的目的。
当?s ? 2?m,则有 ?c ? ?m , Ts ? 2?
?

此时 f ? t ? ?

n ? ??

?

f ( nT s ) Sa ?? c ? t ? nT s ? ? ? ?

?s

?

? ?c

抽样序列的各个冲激响应零点恰好落在抽样时刻上, 就抽样点迭加的数值而言,各个冲激响应互相不产生“串扰” 。

从系统响应的角度
f ?t ? ? T s

?c ?

n ? ??

?

?

f ( nT s ) Sa ?? c ?t ? nT s ?

?

当 ?s ? 2?m 时,只要选择 ?m ? ?c ? ?s ? ?m,即可恢复 f ?t ? 的波形
f 当 ?s ? 2?m时,不满足抽样定理,s ? t ? 的频谱出现混叠。

在时域图形中,因 T s 过大使得冲激响应Sa函数的各波形 在时间轴上相隔较远,无论如何选择 ? c ,都不可能使得叠加 后的波形恢复 f ? t ? 由于要产生接近冲激序列的信号和接近理想低通的系统都相当 困难,因而在数字通信系统中广泛采用零阶抽样保持来产生和 传输信号,在收端利用补偿滤波器恢复连续时间信号。

三、频域抽样定理
若信号 f (t ) 为时限信号,它集中在 ? t m ? t m 的时间范 1 围内,若在频域中,以不大于 2 t m 的频率间隔对 f (t ) 的 频谱 F (? ) 进行抽样,则抽样后的频谱 F1 (? ) 可以唯一地 表示原信号。 因为,频域抽样等效于时域周期重复,只要抽样间 隔 f s ? 1 2t (Ts ? 2tm ) ,则在时域中的波形不会产生 m 混叠,用矩形脉冲作选通信号从周期信号中选出单个脉冲 就可以无失真地恢复出原信号。 时域抽样定理和频域抽样定理为利用数字化方式 分析和处理信号奠定了理论基础。

四、 抽样定理的应用—时分复用(§ 5.11 p303)
Time-division Multiplexing (TDM)
主要用于数字信号的传输和接入,把传输信道按时间进 行分割成不同的时间段,每部分时间段称为时隙(Time Slot),占用较少的资源

? 对频带受限信号,若其抽样间隔满足抽样定 理,则可由瞬时抽样值唯一确定并恢复原信 号,因此,允许只传送这些抽样值,信道仅 在抽样瞬间被占用,其余的空闲时间可供传 送第二路、第三路……等各路抽样信号使用。 将各路信号的抽样值有序地排列起来经同一 信道传输就可以实现时分复用,在接受端, 这些抽样值由适当的同步检测器分离。

优点
1. 产生与恢复各路信号的电路结构相同,而且 以数字电路为主,比频分复用系统的电路更 容易实现超大规模集成,电路类型统一,设 计、调试简单。 2. 容易控制各路信号之间的干扰(串话),合 理设计码脉波形可使频带得到充分利用并且 防止码间串扰。

3.12 连续信号的频域的MATLAB分析
连续信号的频域和复频域表达式可以通过符号运算获 得。其频谱的可视化可以用幅度谱和相位谱绘制。周期信 号可以通过计算其傅里叶级数,画出它的幅度谱和相位谱; 非周期性信号可以通过计算其傅里叶变换,画出它的幅度 谱和相位谱。 Stem () Plot() Ezplot() laplace() Ilaplace()

3.12 连续信号的频域的MATLAB分析
例3.10-1

周期性矩形脉冲信号如题图所示,画出它的幅度谱和相
位谱,以及前5次谐波叠加波形和前10次谐波叠加波形。

3.12 连续信号的频域的MATLAB分析
例3.10-2
用MATLAB分别绘制抽样信号
f1 ( t ) ? Sa ( t ) 和矩形脉冲信号 f 2 ( t ) ? ?[ u ( t ? 1) ? u ( t ? 1)]

的时域波形和频谱,并验证傅里叶变换的对偶性。


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